证明自然数的算术性质

前言

我们很早就知道 a + b = b + a，a * b = b * a，而且也经常用到它，似乎这对于我们来说已经是不证自明的常识了。然而直觉告诉我，很多数学的常识是因为日常使用频繁，不需要知道它们是如何证明的，但是往往这样的常识会有很精彩的数学定义和证明过程。果不其然，查找资料^[1]后，我了解到实数的算数性质（交换律，结合律，分配率）都是通过皮亚诺公理推导出来的，看完整个证明过程之后，不得不再一次深深体会到数学的绝妙之处，这篇文章就是对该过程的实现和总结。

证明过程

要证明自然数的算数性质，就需要用到皮亚诺公理（The Peano Postulates），它完美地用数学语言定义了什么是自然数，总共有六条：

• P1：1 属于 N
• P2： 如果 x 也属于 N，那么它的后继数 x’ 也属于 N.
• P3： 不存在一个数 x 它的后继数 x’ 为 1.
• P4： 如果 y 属于 N 且 y 不等于 1，则一定有一个 x 属于 N 使得 x’ = y.
• P5： 如果 x，y 都属于 N 且 x’ = y’，则 x = y.
• P6： 如果 S 是 N 的子集，1 属于 S，并且通过 S 中的一个数 x 可以得出它的后继数 x’ 也属于 S，则 S = N.

直观理解，如果 x 是一个自然数，那么 x 的后继数 x+1 也是自然数（P1，P2），任何自然数的后继数都不可能是1（P3），任何自然数都有它的后继数（P4），任何一个自然数的后继数是唯一的（P5），如果一个自然数的子集中的数的后继数都在这个子集中，那么这个子集就是自然数集（P6）。

递归定义自然数的加法

D+：设 a 和 b 属于 N.

1. 如果 b = 1, 那么定义 a + b = a’ (P1，P2).
2. 如果 b 不等于 1, 那么另 c’ = b, 则有 c 属于 N (P4), 同时定义 a + b = (a + c)’.

通过定义可知： D+(1)：a + 1 = a’，D+(2)：a + b’ = (a + b)’.

递归定义自然数的乘法

D*： 设 a 和 b 属于 N.

1. 如果 b = 1, 那么定义 a * b = a.
2. 如果 b 不等于 1, 那么另 c’ = b, 则有 c 属于 N (P4), 同时定义 a * b = (a * c) + a.

通过定义可知： D*(1)： a * 1 = a，D*(2)： a * b’ = (a * b) + a.

定理 1： 如果 a 是一个自然数, 那么 1 + a = a + 1.

证明：令 S 为所有满足 1 + x = x + 1 的 自然数 x 的集合，1 属于 S，假设 a 也在 S 中，则：

1 + a' = (1 + a)'  --D+(2)
       = (a + 1)'  --假设 a 属于 S
       = (a')'     --D+(1)
       = a' + 1    --D+(1)

因此 a’ 也属于 S，根据 P6，S = N，所以证明成立

定理 2（加法交换律）：如果 a，b 都是自然数, 那么 a + b = b + a.

证明：令 S 为自然数 y 的集合，使得所有属于自然数 N 的 x 都满足 x + y = y + x，类比定理1，1 属于 S，假设自然数 b 属于 S. 令 S(b’) 为所有满足 x + b’ = b’ + x 的自然数 x 的集合，类比定理1，假设自然数 a 属于 S(b’)

a' + b' = (a' + b)'    --D+(2)
        = (b + a')'    --假设 b 属于 S
        = ((b + a)')   --D+(2)
        = ((a + b)')'  --假设 b 属于 S
        = (a + b')'    --D+(2)
        = (b' + a)'    --假设 a 属于 T(b')
        = b' + a'      --D+(2)

因此 a’ 也属于 S(b’)，根据 P6，S(b’) = N，因此 b’ 属于 S，再次根据 P6，S = N，所以证明成立

定理 3（加法结合律）：如果 a，b 和 c 都是自然数, 那么 a + (b + c) = (a + b) + c.

证明：令 S 为自然数 z 的集合，使得所有属于自然数 N 的 x，y 都满足 x + (y + z) = (x + y) + z. 则：

a + (b + 1) = a + b'       --D+(1)
            = (a + b)'     --D+(2)
            = (a + b) + 1  --D+(1)

因此 1 属于 S. 假设自然数 c 属于 S， 则：

a + (b + c') = a + (b + c)'    --D+(2)
             = (a + (b + c))   --D+(2)
             = ((a + b) + c)'  --假设c属于S
             = (a + b) + c'    --D+(2)

因此 c’ 也属于 S，根据 P6，S = N，所以证明成立

使用同样的证明过程，还可以证明：

1 * a = a，进而证明

a * b = b * a，进而证明

(a + b) * c = (a * c) + (b * c)，接着证明

(a * b) * c = a * (b * c)

1. 查看原文：Proving the Properties of Natural Numbers ↩